알고리즘 정리 <최단 경로>

최단 경로 알고리즘은 말 그대로 가장 짧은 경로를 찾는 알고리즘이다.

 

일반적으로 컴퓨터공학과 학부 수준에서 사용하는 최단 거리 알고리즘은 다익스트라 최단 경로알고리즘, 플로이드 워셜, 벨만 포드 알고리즘 이렇게 3가지이다.

 

오늘은 이 중에서 다익스트라 최단 경로와 플로이드 워셜 알고리즘 유형을 다룰 것이다.

 

1. 다익스트라 최단 경로 알고리즘

다익스트라 최단 경로 알고리즘은 그래프에서 여러 개의 노드가 있을 때, 특정한 노드에서 출발하여 다른 노드로 가는 각각의 최단 경로를 구해주는 알고리즘이다. 

 

- 기본 원리 - 

1) 출발 노드를 설정한다.

2) 최단 거리 테이블을 초기화한다.

3) 방문하지 않은 노드중에서 최단 거리가 가장 짧은 노드를 선택한다.

4) 해당 노드를 거쳐 다른 노드로 가는 비용을 계산하여 최단 거리 테이블을 갱신한다.

5) 위 과정에서 3과 4번을 반복한다.

 

[소스 코드]

import sys
input = sys.stdin.readline
INF = int(1e9)

# 노드의 개수, 간선의 개수를 입력받기
n, m = map(int, input().split())
# 시작 노드 번호를 입력받기
start = int(input())
# 각 노드에 연결되어 있는 노드에대한 정보를 담는 리스트를 만들기
graph = [[] for i in range(n + 1)]
# 방문한 적이 있는지 체크하는 목적의 리스트를 만들기
visited = [False] * (n + 1)
# 최단 거리 테이블을 모두무한으로 초기화
distance = [INF] * (n + 1)

# 모든 간선의 정보를 입력받기
for _ in range(m):
  a, b, c = map(int, input().split())
  # a번 노드에서 b번 노드로 가는 비용이 c라는 의미
  graph[a].append((b, c))
  
# 방문하지 않은 노드 중에서, 가장 최단 거리가 짧은 노드의 번호를 반환
def get_smallest_node():
  min_value = INF
  index = 0 # 가장 최단 거리가 짧은 노드(인덱스)
  for i in range(1, n + 1):
    if distance[i] < min_value and not visited[i]:
      min_value = distance[i]
      index = i

  return index

def dijkstra(start):
  # 시작 노드에 대해서 초기화
  distance[start] = 0
  visited[start] = True
  for j in graph[start]:
    distance[j[0]] = j[1]
  # 시작 노드를 제외한 전체 n - 1개의 노드에 대해 반복
  for i in range(n - 1):
    # 현재 최단 거리가 가장 짧은 노드를 꺼내서 방문 처리
    now = get_smallest_node()
    visited[now] = True
    # 현재 노드와 연결된 다른 노드를 확인
    for j in graph[now]:
      cost = distance[now] + j[1]
      # 현재 노드를 거쳐서 다른 노드로 이동하는 거리가 더 짧은 경우
      if cost < distance[j[0]]:
        distance[j[0]] = cost

# 다익스트라 알고리즘 수행
dijkstra(start)

# 모든 노드로 가기 위한 최단 거리를 출력
for i in range(1, n + 1):
  # 도달할 수 없는 경우, 무한(INFINITY)이라고 출력  
  if distance[i] == INF:
    print("INFINTY")
  # 도달할 수 있는 경우 거리를 출력
  else:
    print(distance[i])

 

2. 플로이드 워셜 알고리즘

플로이드 워셜 알고리즘은 '모든 지점에서 다른 모든 지점까지의 최단 경로를 모두 구해야하는 경우'에 사용할 수 있는 알고리즘이다. 다익스트라 알고리즘과 마찬가지로 단계마다 '거쳐 가는 노드'를 기준으로 알고리즘을 수행한다. 하지만 매번 방문하지 않은 노드 중에서 최단 거리를 갖는 노드를 찾을 필요가 없다는 점이 다르다.

또한 다익스트라 알고리즘은 그리디 알고리즘인데 플로이드 워셜 알고리즘은 다이나믹 프로그래밍이라는 특징이 있다.

소스코드 또한 매우 짧아서 다익스트라 알고리즘과 비교하면 구현 과정에서 어렵지 않을 것이다.

 

각 단계에서는 해당 노드를 거쳐 가는 경우를 고려한다.

예를 들면 1번 노드에 대해서 확인할 때는 1번 노드를 중간에 거쳐지나가는 모든 경우를 고려하면 된다.

정확히는 A -> 1번 노드 -> B로 가는 비용을 확인한 후에 최단 거리를 갱신한다. 이를테면 현재 최단 거리 테이블에 A번 노드에서 B번 노드로 이동하는 비용이 3으로 기록되어 있을 때, A번 노드에서 1번 노드를 거쳐 B번 노드로 이동하는 비용이 2라는 것이 밝혀지면, A번 노드에서 B번 노드로 이동하는 비용을 2로 갱신하는 것이다.

 

[소스 코드]

INF = int(1e9) # 무한을 의미하는 값으로 10억으로 설정

# 노드의 개수 및 간선의 개수를 입력받기
n = int(input()) 
m = int(input())

# 2차원 리스트(그래프 표현)를 만들고, 모든 값을 무한으로 초기화
graph = [[INF] * (n + 1) for _ in range(n + 1)]

# 자기 자신에서 자기 자신으로 가는 비용을 0으로 초기화
for a in range(1, n + 1):
  for b in range(1, n + 1):
    if a == b:
      graph[a][b] = 0

# 각 간선에 대한 정보를 입력받아 그 값으로 초기화
for _ in range(m):
  # A에서 B로 가는 비용은 C라고 설정
  a, b, c = map(int, input().split())
  graph[a][b] = c

# 점화식에 따라 플로이드 워셜 알고리즘 수행
for k in range(1, n + 1):
  for a in range(1, n + 1):
    for b in range(1, n + 1):
      graph[a][b] = min(graph[a][b], graph[a][k] + graph[k][b])

# 수행된 결과를 출력
for a in range(1, n + 1):
  for b in range(1, n + 1):
    if graph[a][b] == INF:
      print("INFINTY", end = ' ')
    else:
      print(graph[a][b])
  print()